Наша организация заключила гражданско-правовой договор на оказание услуг с человеком, проживающим в другом субъекте РФ.

Не обязаны.
Впрочем, понятно, почему у вас возник этот вопрос. Ведь в данном случае ваша организация, заключив гражданско-правовой договор, стала налоговым агентом. Это следует из пункта 1 статьи 226 НК РФ. А налоговые агенты должны представлять в инспекцию сведения о доходах, выплаченных физическим лицам, и удержанном с них НДФЛ.
Но отчитываться и платить налог нужно в ту инспекцию, где состоит на учете организация. Это требование прописано в статье 230 НК РФ. При этом налоговое законодательство не обязывает агентов отчитываться еще и по месту жительства гражданина, подписавшего договор.